Trasformazioni composte

Siano ora L₁: ℝⁿ → ℝ^m e L₂: ℝ^m → ℝ^s due trasformazioni lineari, rappresentate rispettivamente da una matrice A di tipo (m,n) e da una matrice B, di tipo (s,n), ottenute fissando una volta per tutte una base in ℝⁿ, ℝ^m, ℝ^s (è necessario che la base considerata in ℝ^m sia la stessa per L₁ e L₂). Consideriamo la trasformazione composta, L₂ ∘ L₁, così definita

L₂ ∘ L₁ : ℝⁿ → ℝ^s

(L₂ ∘ L₁) : x ↦ L₂(L₁x)

In altre parole la trasformazione composta è quella che si ottiene facendo agire le due trasformazioni una dopo l'altra, ossia applicando la seconda al risultato della prima. E' immediato verificare che L₂ ∘ L₁ è anch'essa una trasformazione lineare; per il Teorema di rappresntazione, esisterà una matrice C, di tipo (s,n) che rappresenta tale trasformazione rispetto alle stesse basi. Tale matrice è semplicemente

C = BA

ossia la matrice rappresentativa di L₂ ∘ L₁ è il prodotto righe per colonne delle matrici B,A che rappresentano L₂, L₁, rispettivamente. Questo risulato è anzi il motivo principale per cui è naturale definire il prodotto di matrici proprio in quelo modo "complicato". La verifica di questo fatto è semplice: scrivendo il vettore x come n-upla rispetto alla base fissata, si ha che

L₂ (L₁x) : B ⋅ (Ax) = (BA)x

ossia BA rappresenta L₂ ∘ L₁. Il discorso vale inalterato se anzichè ℝⁿ, ℝ^m, ℝ^s si considerano tre spazi vettoriali qualsiasi di dimensioni, rispettivamente n,m,s

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