Equazioni differenziali ordinarie
Per equazione differenziale ordinaria intendiamo una relazione tra una variabile indipendente reale (che indicheremo con t), una funzione incognita y =y(t) e le sue derivate y(k) fino ad un certo ordine n. Si dice equazione differenziale di ordine n, un'equazione del tipo:
F(t,y,y',y'',..., y(n)) = 0 (E.1)
dove y(t) è la funzione incognita e F è una funzione reale di n + 2 variabili t,y',y'', ..., y(n) a valori reali. Diremo che l’equazione differenziale è di ordine n, se n è l’ordine più alto delle derivate di y che intervengono nella (E.1). L'aggettivo ordinaria si riferisce al fatto che l'incognita è funzione di una variabile. Si parla di equazioni a derivate parziali quando l'incognita è funzione di più variabili.
Si dirà soluzione, o (curva) integrale, della E.1, nell'intervallo I ⊂ ℝ, una funzione φ(t), definita almeno in I e a valori reali, per cui risulti
F(t,φ(t),φ(t)',φ(t)'', ...,φ(t)(n)) = 0 ∀t ∈ I (E.1)
Infine, si dirà integrale generale dell'equazione E.1 una formula che rappresenti la famiglia di tutte le soluzioni dell'equazione E.1, eventualmente al variare di uno o più parametri in essa contenuti. Mostriamo un primp esempio elementare, ma storicamente significativo, di modello differenziale.
Modello di Malthus per la dinamica delle popolazioni, 1798. Si considera una popolazione che evolve isolata e i cui unici fattori di evoluzioni sono fertilità e mortalità. Indicheremo con N(t) il numero di individui presenti al tempo t, con λ (rispettivamente, μ) il numero di nuovi nati (morti) per individuo nell'unità di tempo, cosicché in un tempo di durata h il numero di nuovi nati e di morti sarà rispettivamente λhN(t) e μhN(t). Perciò, la variazione del numero di individui in un tempo h sarà:
N(t+h) - N(t) = λhN(t) - μhN(t)
Dividendo ambo i membri della precedente equazione per h, abbiamo:
[N(t+h) - N(t)] / h = (λ - μ) N(t)
Assumeremo l'equazione precedente valida per ogni intervallo di tempo h; prendendo il limite di ambo i membri h →0 abbiamo (ammesso che la funzione N(t) sia derivabile)
N'(t)= (λ - μ) N(t)
Questa è un'equazione lineare del primo ordine; il numero ε = λ - μ si chiama potenziale biologico. Scrivendo la nella forma N'/N = ε, si osserva che il tasso relativo di crescita (o diminuzione) di N è costante.
Spesso è possibile esprimere mediante la (E.1) la derivata di ordine massimo y(n) in funzione di t e delle derivate di ordine inferiore (in diverse applicazioni, questo è anzi il modo con cui si scrive originariamente l’equazione differenziale). In generale, il Teorema della funzione implicita assicura che è possibile esplicitare y(n) quando la derivata parziale di F rispetto all’ultima variabile non si annulla. In tal caso, possiamo scrivere la (E.1) nella forma
y(n) (x) = f(x,y(x),y'(x), ..., y(n−1)(x)) E.2
dove f è una funzione reale di n + 1 variabili reali: f: ℝn+1 ⊆ D → ℝ. Diremo allora che l’equazione differenziale è in forma normale. La definizione di soluzione si modifica in modo ovvio nel caso in cui l’equazione sia in forma normale.
Noi tratteremo il caso particolarmente importante e, come vedremo subito, sufficientemente generale, dei sistemi di n equazioni del 1° ordine in forma normale, in n funzioni incognite; un gerico sistema di questo tipo si può scrivere nel modo seguente:
dove le funzioni fj, j=1, ...., n sono definite in una stessa regione D di ℝn+1 ed y1(t), ...., yn = yn(t) sono le funzioni incognite. Introducendo i vettori y(t) = (y1(t), ..., yn(t)) e f=(f1,f2, ..., fn), il sistema può essere scritto più concisamente come un'unica equazione vettoriale:
Se ogni componente di f è lineare in y si dice che il sistema è lineare. Se f non dipende esplicitamente da t ossia y'= f(y), si dice che il sistema è autonomo.
Problema di Cauchy
Un modo molto naturale per selezionare una soluzione particolare è quello di imporre che la soluzione ad un certo istante t0 ∈ I assuma un valore assegnato y0 ∈ D. Consideriamo cioè il problema di trovare y = y(t) soddisfacente
y' = f(t,y) in J
y(t0) = y0
dove J è un sottointervallo aperto di I contenente t0, che in generale dipende dalla soluzione stessa e non è determinabile a priori. Questo problema prende il nome di problema di Cauchy per l’equazione differenziale. Talvolta si usa chiamare anche problema ai valori iniziali in quanto spesso modellizza l’evoluzione temporale di un sistema fisico, il quale all’istante t0 in cui inizia la simulazione matematica si trova nella configurazione y0 . Dal punto di vista geometrico, la condizione imposta in t0 equivale a chiedere che la curva integrale della soluzione passi per il punto (t0 , y0) ∈ Ω. La risolubilità del problema di Cauchy in senso locale (cioè in un intorno J di t0 ), oppure in senso globale (cioè quando J = I, nel qual caso si parla di soluzione globale) è trattata rispettivamente nei §§ 10.4.1 e 10.4.3.