Linear differential equations
A linear differential equation is a differential equation that is defined by a linear polynomial in the unknown function and its derivatives, that is an equation of the form
where a0( x ), ..., an ( x ) and b(x) are arbitrary differentiable functions that do not need to be linear, and y' , … , y(n) are the successive derivatives of an unknown function y of the variable x. If b(x)=0 the equation is homogeneous.
A linear 1st order ODE can be written as
y′+a(x)y = b(x).
Il motivo per cui l'equazione è detta lineare è il seguente. Se infichiamo con L(y)(t) il primo membro dell'equazione, notiamo che l'operatore
risulta essere proprio un operatore tra questi spazi di funzioni: Ly(x) = b(x).
è lineare, verifica cioè la relazione
(L.1)
con y1,y2 ∈ Cn(I) e α,β ∈ ℝ.
The kernel of a linear differential operator is its kernel as a linear mapping, that is the vector space of the solutions of the (homogeneous) differential equation L y = 0.
Dalla (L.1) seguono immediatamente le seguenti proposizioni:
Proposizione L.1 - (Principio di sovrapposizione) - Siano y1,y2 soluzioni dell'equazione omogenea e siano α,β ∈ ℝ costanti. Allora:
Allora ogni combinazione lineare αy1 + βy2 è ancora soluzione di tale equazione. L'insieme delle soluzioni dell'equazione omogenea è un sottospazio Cn(I), in particolare è uno spazio vettoriale.
Dimostrazione - Il primo passaggio segue dalla linearità di L, il secondo dal fatto che per ipotesi Ly1 = 0 e Ly2 =0.
Teorema L.2 - (Struttura generale dell'integrale generale) - L'integrale generale dell'equazione completa si ottiene sommando l'integrale generale dell'equazione omogenea e una soluzione particolare dell'equazione completa.
Dimostrazione - Siano y1 una soluzione particolare dell'equazione completa e y0 una generica soluzione dell'equazione completa, ossia: Ly1 = f, Ly0 = 0. Allora per linearità:
ossia y1 + y0 è soluzione dell'equazione completa.
Viceversa, se y2 è ora una qualsiasi soluzione dell'equazione completa (Ly2 = f) per linearità:
ossai y2 - y1 è soluzione dell'omogenea, ossia y2 - y1 = y0 per una certa soluzione y0 dell'omogenea. Dunque la generica soluzione dell'equazione completa si può scrivere come somma di una particolare soluzione y1 dell'equazione completa (fissata una volta per tutte) e di una soluzione dell'equazione omogenea: y2 = y1 + y0 □