Transpose of a Matrix

Definizione M.0- Trasposta. Sia A = (a_ij) ∈ M_m,n (𝕂). La trasposta di A è la matrice A^T ∈ M_m,n (𝕂) il cui coefficiente di posto (i, j) è a_ji, cioè è il coefficiente di posto (j, i) della matrice A. Dunque A^T è la matriche che si ricava da A scambiando le righe con le colonne. Ad esempio

A = (\begin{array}{cccc} 2 & 5 & 4 & 3 \\ 0 & 6 & 3 & 2 \end{array}) A^{T} = (\begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 5 & 6 \\ 4 & 3 \\ 3 & 2 \end{array})

Risulta quindi (A^T)^T = A.

Definition A square matrix A is symmetric if A^T = A — that is, if A is equal to its own transpose. For example

A = (\begin{array}{ccc} 2 & 4 & - 5 \\ 4 & 0 & - 3 \\ - 5 & - 3 & 7 \end{array})

è simmetrica. A si dice antisimmetrica, se A = − A^T.

Sia A = (a_ij) una matrice quadrata. Chiamianmo gli elemnti a₁₁, ..., a_nm componenti diagonali.

Theorem. La trasposta di un prodotto di matrici è il prodotto delle trasposte delle matrici fattori prese in ordine inverso, cioè:

(AB)^T = B^TA^T

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