Trasformazioni iniettive e suriettive
Sia L: V → W, una trasformazione lineare.
Se Im(L) = W, si dice che L è suriettiva. Ciò significa che l'equazione L(x) = b ha almento una soluzione x, comunque si assegni il termine noto b.
Se Ker(L) ={0}, si dive che L è iniettiva. Ciò significa che l'equazione L(x) = 0 ha solo la soluzione nulla. Per linearità di L, questo è equivalente ad affermare che l'equazione L(x) = b ha al più una soluzione x, comunque si assegni il termine noto b. (Infatti se x1,x2 sono due soluzioni di L(x) = b, pr linearità L(x1 - x2) = b - b = 0, dunque x1 = x2).
Se L è iniettiva e suriettiva, si dice che L è biettiva; la corrispondenza stabilita da L è biunivoca. In tal caso l'equazione L(x) = b ha una e suna sola soluzione x, comunque si assegni il termine noto b. Interessante è il caso in cui V e W hanno la stessa dimensione n in tal caso si ha:
dim Ker(L) = 0 ⇔ dim Im(L) = n
e perciò, per trasformazioni lineari L da V a W, iniettività equivale a suriettività (e quindi biunivocità). Detto altrimenti se L è una trasformazione da V a W, per l'equazione L(x)=b si può affermare che c'è esistenza di soluzione (per ogni b) se e solo se c'è unicità di soluzione (per ogni b). Se i due spazi non hanno stessa dimensione la trasformazione lineare L non può essere biunivoca.