Dimensione di uno spazio vettoriale

Proposizione 2.5 - Sia B = {u₁, u₂ , ..., u_n} una base di V e sia S = {v₁, v₂ , ..., v_m} un insieme di vetori indipendenti di V, allora m ≤ n.

Dim. Si possono usare i vettori della base B per esprimere in modo unico il vettore v₁, come

$teorema dimensione spazi \mathbf{v}_1 = a_1 \mathbf{u}_1 +a_2\mathbf{u}_2+\ldots+a_{n}\mathbf{u}_n$ (2.2)

Essendo i vettori v_i linearmente indipendenti, essi sono tutti diversi dal vettore nullo. In particolare, poichè v₁ ≠ 0, vi è sicuramente nella (2.2) un a_i diverso da zero. Possiamo sceglire arbitrariamente il coefficiente a₁ ≠ 0.

Dalla (2.2) si ricava:

$teorema dimensione spazi \mathbf{u}_1 = a_1^{-1}v_1 -(a_1^{-1}a_2) \mathbf{u}_2 -(a_1^{-1}a_3)\mathbf{u}_3-\ldots-(a_1^{-1}a_n)\mathbf{u}_n$

Quindi per la proposizione (2.1) si ha:

$teorema dimensione spazi \text{Span} (\mathbf{v}_1, \mathbf{u}_2,\ldots, \mathbf{u}_n ) = \text{Span} (\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2,\ldots, \mathbf{u}_n ) = V$

quindi l'insieme {v₁, u₂ , ..., u_n} è un insieme di generatori di V. Poichè v₁ non può esprimersi come combinazione lineare dei soli vettori {u₁, u₂ , ..., u_n} essendo a₁ ≠ 0 ne segue che {v₁, u₂ , ..., u_n} è un insieme di vettori linearmente indipendenti e quindi costituiscono una base.

Applicando il procedimento già seguito si dimostra che anche {v₁, v₂ u₃ , ..., u_n} è una base di V. Iterando il procedimento, se fosse m > n, si potrebbero trovare n vettori v₁, v₂, ..., v_n tra gli m dati, che costituiscono una base di V. Ma allora i rimanenti m - n vettori v_n+1, v_n+2 , ..., v_m risulterebbero linearmente dipendenti da essi, il che è una contraddizione della ipotesi di partenza, dunque m ≤ n. □

Teorema 2.1 - Tutte le basi di uno spazio vettoriale V finitamente generato contenono lo stesso numero di basi.

Dim.- Siano {u₁, u₂ , ..., u_n} e {v₁, v₂ , ..., v_m} due basi di V. Poichè {v₁, v₂ , ..., v_m} è un insieme di vettori linearmente indipendenti, per la proposizione 2.5, vale m ≤ n. Dato che anche {u₁, u₂ , ..., u_n} è un insieme di vettori linearmente indipendenti, per la proposizione (2.5) deve essere n ≤ m, quindi deve essere per forma m = n. □

Definizione 2.6 - Il numero di vettori contenuti in una base di uno spazio vettoriale V è detto dimensione dello spazio, e si indica con dim V = n

La dimensione di uno spazio vettoriale rappresenta quindi il massimo numero di vettori linearmente indipendenti. Per lo spazio vettoriale V = {0}, dim V=0. Gli spazi vettoriali di dimensione n si dicono di dimensione finita. Può accadere che non esista alcun n per cui V abbia una base di n vettori.

Esempio 2.1 Sia V lo spazio di tutti i polinomi di una variabile. E' facile notare che non esiste un numero finito di polinomi tale che ogni polinomio sia combinazione lineare di questi. Prendendo come base l'insieme:

1, x, x², x³,...

ci sarà sempre un polinomio che non è combinazione lineare di questi. Pertanto V è uno spazio vettoriale a dimensione infinita.

Teorema 2.1 (Del completamento di una base) - Siano {u₁, u₂ , ..., u_n} vettori linearmente indipendenti di uno spazio vettoriale V di dimensione n. Se k ≤ n allora possiamo trovare n − k vettori {v₁, v₂ , ..., v_k} tali che gli n vettori

v₁, v₂, v_k, u₁, ...., u_n−k

siano una nuova base di V.

Dim. Il sistema dei k + n vettori {v₁, v₂ , ..., v_k, u₁, u_n-k} è sicuramente un sistema di generatori per lo spazio vettoriale V. Applicando a tale sistema il metodo usato per dimostrare il teorema (2.0) e ricordando che tutte le basi hanno lo stesso numeri di elementi, si ha la tesi. □

Definizione 2.6 (Somma diretta) - Diciamo che V è somma diretta di U e W se per ogni elemento v ∈ V esistono unici gli elementi u ∈ U e w ∈ W tali che v = u + w. In tal caso si scrive:

V = U ⨁ W

Teorema 2.2 - Sia V uno spazio vettoriale sul campo 𝕂 e siano U e W due sottospazi di V. Se U + W = V, e se U ⋂ W = {0} allora V è somma diretta di U e W.

Dim. Dato v ∈ V, per la prima ipotesi esistono u e w tali che v = u + w. Supponiamo che lo stesso vettore v possa esprimersi come somma di due vettori differenti v = u' + w'. Ciò porta ad una contraddizione della seconda ipotesi, infatti:

u + w = u' + w'

Allora:

u - u' = w' - w

Ma u - u' ∈ U e w - w' ∈ W, quindi esisterebbe un vettore diverso dal vettore nullo che appartiente ad U ⋂ W = {0} in contraddizione con la seconda ipotesi.

Teorema 2.3 - Se V è uno spazio vettoriale di dimensione finita su 𝕂, e somma diretta dei sottospazi U e W, allora:

dim V = dim W + dim U

Dim. Sia {v₁, v₂ , ..., v_k} una base di U e {w₁, w₂ , ..., w_m} una base di W. Ogni elemento di U ha un'unica combinazione lineare x₁v₁+ x₂ v₂ + ...+ x_kv_k con x_i ∈ 𝕂 lo stesso per W: y₁w₁+ y₂ w₂ + ...+ y_kw_m con y_i ∈ 𝕂. Quindi ogni elemento di V si può esprimere come un'unica combinazione lineare:

x₁v₁+ x₂ v₂ + ...+ x_kv_k + y₁w₁+ y₂ w₂ + ...+ y_kw_m

Questo dimostra il teorema ed anche il fatto che {v₁, v₂ , ..., v_k, w₁, w₂ , ..., w_m} è una base di V.

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