Confronti e stime asintotiche
I limiti notevoli sono espressi in tramite il simbolo di equivalenza asintotica ~, già introdotto per le successioni.
Si dice che due funzioni f,g, definite almeno in un intorno di x0 sono asintotiche per x → x0 se
e si scrive f ~ g per x → x0
I limiti notevoli si possono allora riscrivere come segue:
sin x ~ x, 1 - cos x ~ x2/2, ex -1 ~ x
log(1+x) ~ x, (1+x)α - 1 ~ αx
per x → 0
Si può dire che sin x , log (1+x), e ex - 1, in prima approssimazione o al primo ordine, si comportano come x per x → 0.
Tali relazioni possono essere generalizzate tramite il teorema del limite della funzione composta. Se ε(x) è una funzione che tende a zero (cioè un infinitesimo), si può scrivere tramite il cambio di variabile y = ε(x):
sin ε(x) ~ ε(x)
1 - cos ε(x)~ ε(x)2/2
εε(x) - 1 ~ ε(x)
log(1 + ε(x)) ~ ε(x)
(1 + ε(x))α - 1 ~ αε(x)
per ε(x) → 0
Proprietà del simbolo ~
Il simbolo di asintotico gode di tutte le proprietà enunciate per le successioni.
Stesso limite
Se f1(x) ~ f2(x) per x → x0 allora le due funzioni hanno lo stesso limite (finito o infinito) per x → x0, oppure entrambe non hanno limite. Questo è il motivo per cui è utile sapere che due funzioni sono asintotiche.
Proprietà riflessiva
Se f1(x) ~ f2(x) per x → x0, allora anche f2(x) ~ f1(x).
Questo è il motivo per cui è corretto dire che "due funzioni sono asintotiche tra loro" per x → x0, e non che "la prima è asintotica alla seconda".
Proprietà transitiva
Se per x → x0 f1(x) ~ f2(x) per x → x0 e f2(x) ~ f3(x) allora anche f1(x) ~ f3(x) per x → x0.
Questo significa che si può procedere con catene di relazioni asintotiche, per concludere alla fine che l'ultimo termine della catena è asintotico al primo.
Funzione asintotica a una costante
Per x → x0, f1(x) ~ c (numero reale diverso da zero) se e solo se f(x) ~ c.
Spesso l'ultimo termine di una catena di stime asintotiche è una costante: in tal caso, coincide col limite.
Uso di asintotico con prodotti e quozienti
Se per x → x0, f1(x) ~ f2(x) e g1(x) ~ g2(x) allora anche
f1(x) g1(x) ~ f2(x) g2(x)
f1(x) / g1(x) ~ f2(x) / g2(x)
f1(x)α ~ g1(x)α
Per certi esponenti reali α occorre che le funzioni siano non negative.
Il simbolo di asintotico si comporta in modo naturale quindi rispetto a prodotti, quozienti ed elevamento a potenza. Non è altrattanto vero con operazione come la somma o l'esponenziale.
Non usare "asintotico"come "uguale"
Il simbolo si asintotico condivide qualche proprietà col simbolo uguale (simmetria, transitività), ma non si può usare come un uguale. Ad esempio per x → 0 si ha la relazione
ex - 1 ~ x
Sempre per x → 0 si ha anche
ex ~ 1 ~ 1 + x2
Non è lecito scrivere
ex - 1 ~ x2
Qundi non è lecito portare una quantità da una parte all'altra del segno di ~ cambiandola di segno, come si farebbe con un'uguaglianza.
Stime asintotiche e parte principale di una somma
La parie principale di una funzione f(x) per x → x0 è, la più semplice funzione asintotica a f(x), per x → x0. Mostriamo come si utilizza il simbolo asintotico per mettere in evidenza la parte principale di una somma di più termini. Si noti come generalmente la parte principale di una somma di termini è data da un solo termine (che eventualmente è il prodotto, ma non la somma, di più espressioni.
| La parte principale di .. | per x → .. | è .. |
|---|---|---|
| sin x | 0 | x |
| sin x +2 | 0 | 2 |
| (2x3 + 2x2 - x) | ±∞ | 2x3 |
| (2x3 + 2x2 - x) | 0 | -x |
| (5x3 + 2x + 3log4x) | +∞ | 2x |
Dimostrazione di alcune affermazioni precedenti.
a) è un limite notevole. b) sin x + 2 → 2, perciò sin x + 2 ~ 2.
c) (2x3 + 2x2 - x) = 2x3( 1 + 1/x - 1/2x2) ~ 2x3
d) (2x3 + 2x2 - x) = -x(1 -2x -2x2) ~ 2x3