Funzioni Inverse
Una funzione f si dice iniettiva se ogni y ∈ Im f è l'immagine di un solo elemento x ∈ dom f, ovvero se vale
y = f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2
Se f è iniettiva possiamo associare ad ogni elemento y dell'immagine l'unico elemento x del dominio. La funzione che realizza tale corrispondenza viene detta funzione inversa, e indicata con f−1
x = f -1(y) ⇔ y = f(x)
La funzione inversa ha quindi come dominio l'immagine di f e come codominio il dominio di f:
domf -1 = imf, im f -1 = dom f
In alcuni casi nota l'espressione analitica di f è possibile risolvendo l'equazione rispetto a x ricavare l'espressione per la funzione inversa. Ad esempio la funzione f(x) = 4x + 5 risulta essere invertibile su ℝ e la funzione inversa risulta essere
f−1 (y) = (y − 4)/5
Grafic of the inverse functions
Il grafico della funzione inversa si ottiene da quello di f scambiando tra loro le coordinate di ciascun punto (x0, y0). I punti (x0, y0) e (y0, x0), risultano simmetrici rispetto la retta y=x, bisettrice del I e III quadrante quindi i grafici di f e della sua inversa risultano uno l'immagine speculare dell'altro.
Un esempio è dato dalla funzione cubica: f(x) = x3 and f−1(y) = (y)1/3.
Funzioni trigonometriche inverse
Essendo le funzioni trigonometriche priodiche, per trattare le loro funzioni inverse bisognerà restringersi a intervalli in cui queste siano strettamente monotone, quindi invertibili. La funzione y = sin x è strttamente crescente nell'intervallo [-π/2,π/2]. La funzione inversa funzione arcoseno e indicata y= arcsin x; è definita in [-1,1] e ivi strettamente crescente.
Per cos(x) l'intervallo di monotonia è [0,π], nel quale la funzione è possibile definire la funzione inversa arcoseno
Per la tangente l'intervallo di monotonia è (-π/2,π/2) ed ivi invertibile. La funzione inversa si chiama arcotangente
Iperbolic inverse functions
La funzione y = Sh x è definita e strettamente crescente su tutto 
, dunqe invertibile. Per trovare la funzione inversa poniamo
x = Sh y = (ey − e−y)/2
solving with respect to y, moltiplicando ambo i membri per ey l'equazione si può riscrivere come
e2y − 2xey − 1 = 0
questa è un'equazione di 2° nell'ingognita ey. Risolvendola si ha
Essendo ey >0, scartiamo la soluzione negativa. Quella positiva è
Questa è la funzione inversa di Sh x, nota come settore seno iperbolico, SettSh x, definita ∀.
Con passaggi analoghi si ricava la funzione inversa del coseno iperbolico Ch x, strettamente crescente per x ≥0, descrescente per x ≤0. Non è quindi invertibile su tutto ℝ, ma la sua restriction to x ≥ 0 is.
x = Ch y = (ey − e−y)/2
risolvendo rispetto a y:
ey + e2y − 2xey + 1 = 0
thus
In questo caso entrambe le soluzioni sono accettabili. Passando la logaritmo otteniamo:
che è nota come settore coseno iperbolico, SettChx, è definita per x ≥1.
Come esempio notiamo che l'equazione
Sh x = 3 unica soluzione x = SettSh 3 = log 3 + √10
mentre per l'equazione
Ch x = 3 due soluzioni x = ±SettCh 3 = log 3 + √8
Le funzioni iverse del seno e coseno iperbolico risultano utili nell'integrazione delle funzioni irrazionali.